初一上册数学知识点总结人教版

时间:2021-01-21 20:11:51 编辑:刘东

  初一上册数学知识点总结人教版

  正数和负数

  ⒈正数和负数的概念

  负数:比0小的数正数:比0大的数0既不是正数,也不是负数

  注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如+a,-a就不能做出简单判断)

  ②正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

  2.具有相反意义的量

  若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:

  零上8℃表示为:+8℃;零下8℃表示为:-8℃

  3.0表示的意义

  ⑴0表示“没有”,如教室里有0个人,就是说教室里没有人;

  ⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。如:

  (3)0表示一个确切的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。

  有理数

  1.有理数的概念

  ⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

  ⑵正分数和负分数统称为分数

  ⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

  理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数

  注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8?也是偶数,-1,-3,-5?也是奇数。

  2.有理数的分类

  ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数

  整数0正有理数正分数

  有理数有理数0(0不能忽视)

  负整数

  分数负有理数负分数

  总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)

  ②负整数、0统称为非正整数

  ③正有理数、0统称为非负有理数

  ④负有理数、0统称为非正有理数

  数轴

  ⒈数轴的概念

  规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

  注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不

  可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

  2.数轴上的点与有理数的关系

  ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

  ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)

  3.利用数轴表示两数大小

  ⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

  ⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

  ⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

  4.数轴上特殊的(小)数

  ⑴最小的自然数是0,无的自然数;

  ⑵最小的正整数是1,无的正整数;

  ⑶的负整数是-1,无最小的负整数

  5.a可以表示什么数

  ⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;

  ⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0

  ⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0

  相反数

  ⒈相反数

  只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

  注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

  ⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。

  2.相反数的性质与判定

  ⑴任何数都有相反数,且只有一个;

  ⑵0的相反数是0;

  ⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0

  3.相反数的几何意义

  在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

  4.相反数的求法

  ⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5);

  ⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简得-5a-b);

  ⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化

  简得5)

  5.相反数的表示方法

  ⑴一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。

  当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)

  当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)

  当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

  绝对值

  ⒈绝对值的几何定义

  一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。

  2.绝对值的代数定义

  ⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0.

  可用字母表示为:

  ①如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=-a;③如果a=0,那么|a|=0。

  可归纳为①:a≥0,<═>|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)②a≤0,<═>|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)经典考题

  如数轴所示,化简下列各数

  |a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|

  解:由题知道,因为a>0,b<0,c<0,a-b>0,a-c>0,b+c<0,

  所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-(b+c)=-b-c

  3.绝对值的性质

  任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0<═>|a|=0;

  ⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;

  ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;

  ⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;

  ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;

  ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

  ⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。

  (非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

  经典考题

  已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值

  解:因为|a+3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0

  所以|a+3|=0,|2b-2|=0,|c-1|=0

  即a=-3,b=1,c=1

  所以a+b+c=-3+1+1=-1

  4.有理数大小的比较

  ⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

  ⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数

  大于负数。

  5.绝对值的化简

  ①当a≥0时,|a|=a;②当a≤0时,|a|=-a

  6.已知一个数的绝对值,求这个数

  一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。如:|a|=5,则a=土5

  有理数的加减法

  1.有理数的加法法则

  ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

  ⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;⑶互为相反数的两数相加,和为零;

  ⑷一个数与零相加,仍得这个数。

  2.有理数加法的运算律

  ⑴加法交换律:a+b=b+a

  ⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

  在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:

  ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;

  ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;

  ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;

  ④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”;

  ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

  3.加法性质

  一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:

  ⑴当b>0时,a+b>a⑵当b<0时,a+b<a⑶当b=0时,a+b=a< p="">

  4.有理数减法法则

  减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。

  5.有理数加减法统一成加法的意义

  在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

  在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

  和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

  ②按运算意义读作“负8减7减6加5”

  6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

  Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)

  (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

  原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(将减法转换成加法)

  =-33+18-15-1+23(省略加号和括号)

  =(-33-15-1)+(18+23)(把符号相同的加数相结合)

  =-49+41(运用加法法则一进行运算)

  =-8(运用加法法则二进行运算)

  Ⅱ.把和为整数的加数相结合(凑整法)

  (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

  原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(将减法转换成加法)

  =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加号和括号)

  =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和为整数的加数相结合)

  =4-10+3.8(运用加法法则进行运算)

  =7.8-10(把符号相同的加数相结合,并进行运算)=-2.2(得出结论)

  Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)313217-+-+-524528

  321137原式=(--)+(-+)+(+-)552248

  1=-1+0-8

  1=-18-

  Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)312)+(-3)-(-10)-(+1.25)483

  13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)84834

  13121=+3-3+10-184834

  31112=(3-1)+(-3)+1044883

  12=2-3+1023

  1=-3+136

  1=106(+0.125)-(-3

  Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)-31617+10-12+45112215