九年级数学下册人教版知识点归纳

时间:2021-01-28 18:30:04 编辑:刘东

  九年级数学下册人教版知识点归纳1

  1.解直角三角形

  1.1.锐角三角函数

  锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。

  如果∠a是Rt△ABC的一个锐角,则有

  1.2.锐角三角函数的计算

  1.3.解直角三角形

  在直角三角形中,由已知的一些边、角,求出另一些边、角的过程,叫做解直角三角形。

  2.直线与圆的位置关系

  2.1.直线与圆的位置关系

  当直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时,叫做直线与圆相切,公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。

  直线与圆的位置关系有以下定理:

  直线与圆相切的判定定理:

  经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

  圆的切线性质:

  经过切点的半径垂直于圆的切线。

  2.2.切线长定理

  从圆外一点作圆的切线,通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。

  切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。

  2.3.三角形的内切圆

  与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的内心,三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。

  3.三视图与表面展开图

  3.1.投影

  物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子叫做投影。光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。

  可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线,它们所形成的投影就是平行投影。

  3.2.简单几何体的三视图

  物体在正投影面上的正投影叫做主视图,在水平投影面上的正投影叫做俯视图,在侧投影面上的正投影叫做左视图。

  主视图、左视图和俯视图合称三视图。

  产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。

  3.3.由三视图描述几何体

  三视图不仅反映了物体的形状,而且反映了各个方向的尺寸大小。

  3.4.简单几何体的表面展开图

  将几何体沿着某些棱“剪开”,并使各个面连在一起,铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。

  圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周,其余各边所成的面围成的几何体。AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面,是两个半径相同的圆。AD旋转所成的面就是圆柱的侧面,AD不论转动到哪个位置,都是圆柱的母线。

  圆锥可以看做将一根直角三角形ACB绕它的一条直角边(AC)旋转一周,它的其余各边所成的面围成的一个几何体。直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面,斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面,斜边AB不论转动到哪个位置,都叫做圆锥的母线。

  一个底面半径为r,母线长为的圆锥,它的侧面展开图是一个半径为母线长,弧长为底面圆周长的扇形,由此得到的圆锥的侧面积和全面积公式为:

  若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为,则由,得到圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式:

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  第二十二章 一元二次方程

  1、 定义:形如:ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程。

  ① 是整式方程,②未知数的最高次数是二次,③只含有一个未知数,④二次项系数不为零。

  2、 化为一元二次方程的一般形式:按降幂排列,二次项系数通常为正,右端为零。

  3、 一元二次方程的根:代入使方程成立。

  4、 一元二次方程的解法:①配方法:移项→二次项系数化为一→两边同时加上一次项系数的一半→配方→开方→写出方程的解。

  ②公式法:x=(-b±√b2 -4ac )/ 2a .③因式分解法:右端为零,左端分解为两个因式的乘积。

  5、 一元二次方程的根的判别式:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根,②当△=0时,方程有两个相等的实数根,③当△<0时,方程没有实数根。

  注意:应用的前提条件是:a≠0.

  6、 一元二次方程根与系数的关系:x1 + x2= -b/a ,x1  x2 = c/a.

  注意:应用的前提条件是:a≠0,△≥0.

  7、 列方程解应用题:审题设元→列代数式、列方程→整理成一般形式→解方程→检验作答。

  第二十三章 旋转

  1、 旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角。

  2、 旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等,②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,③旋转前、后的图形全等。

  关键:找好对应线段、对应角。

  3、 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这个点对称或中心对称。

  4、 中心对称的性质:①关于中心对称的两个图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。②关于中心对称的两个图形是全等形。

  5、 中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

  6、 对称点的坐标规律:①关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,②关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。

  第二十四章 圆

  1、 确定圆的条件:圆心→位置,半径→大小。

  2、 和圆有关的概念:弦---直径,弧—半圆、优弧、劣弧,圆心角,圆周角,弦心距。

  3、 圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。

  4、 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

  推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

  5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,弦的弦心距相等。

  引申:在这四组量中,只要有一组量对应相等,其余各组量都相等。

  6、 圆周角定理:①圆周角等于同弧所对的圆心角的一半,

  ②在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等,

  ③半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。

  7、 内心和外心:①内心是三角形内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。

  ②外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。

  8、 直线和圆的位置关系:相交→d

  9、 切线的判定:“有点连圆心”→证垂直。“无点做垂线”→证d=r。

  切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。

  10、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

  11、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补,每一个外角等于它的内对角。

  12、圆外切四边形的性质:圆外切四边形的`对边之和相等。

  13、圆和圆的位置关系:外离→d>R+r.外切→d=R+r.相交→R-r

  14、正多边形和圆:半径→外接圆的半径,中心角→每一边所对的圆心角,边心距→中心到一边的距离。

  15、弧长和扇形面积:L=n∏R/180. S扇形=n∏R2/360.

  16、圆锥的侧面积和全面积:圆锥的母线长=扇形的半径,圆锥底面圆周长=扇形弧长,圆锥的侧面积=扇形面积,圆锥的全面积=扇形面积+底面圆面积。

  第二十五章 概率初步

  1、 三种事件:随机事件、不可能事件、必然事件。

  2、 概率:P(A)=p. 0≤P(A)≤1.

  3、 古典概率的求法:①列举法(把所有可能结果都表示出来),②列表法,③树形图。

  4、 用频率估计概率:根据一个随机发生的事件发生的频率所逐渐稳定到的常数,可以估计这个事件发生的概率。

  第二十六章 二次函数

  1、 定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常数)的函数叫二次函数。

  2、 二次函数的分类:①y=ax2: 顶点坐标:原点; 对称轴:y轴;

  ②y=ax2+c: 顶点坐标:(0、c); 对称轴:y轴;

  ③y=a(x-h)2: 顶点坐标:(h、0); 对称轴:直线x=h;

  ④y=a(x-h)2+k:顶点坐标:(h、k); 对称轴:直线x=h;

  ⑤y=ax2+bx+c: 顶点坐标:(-b/ 2a , 4ac -b2/ 4a );对称轴:直线x=-b/ 2a

  3、a、b、c符号的判定:a:开口方向向上→a>0;开口方向向下→a<0。

  b:与a左同右异,对称轴在y轴左侧,a、b同号;对称轴在y轴右侧,a、b异号。

  C:交与y轴正半轴,c>0;交与y轴负半轴,c<0.

  b2 -4ac :与x轴交点的个数,△>0→两个交点,△<0→无交点,△=0→一个交点。

  3、 平移规律:“正左负右”“正上负下”。

  前提:配方成y=a(x-h)2+k的形式。

  4、 待定系数法确定函数关系式:①顶点在原点选y=ax2;

  ②顶点在y轴选y=ax2+c;

  ③通过坐标原点选y=ax2+bx;

  ④知道顶点在x轴上选y=a(x-h)2;

  ⑤知道顶点坐标选y=a(x-h)2+k;

  ⑥知道三点的坐标选y=ax2+bx+c。

  5、 其他应用:求与x轴的交点→解一元二次方程;与y轴交点为(0、c)。

  6、 对称规律:①两抛物线关于x轴对称:a、b、c都变为其相反数。

  ②两抛物线关于y轴对称:a、c不变,b变为其相反数。

  7、 实际问题:利润=销售额-总进价-其他费用,利润=(售价-进价)销售量-其他费用。

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  经过圆心的弦是直径;

  圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆;大于半圆弧的弧叫优弧,小于半圆弧的弧叫做劣弧;由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

  (1)当两圆外离时,d>R_+r;

  (2)当两圆相外切时,d=R_+r;

  (3)当两圆相交时,R_-r

  (4)当两圆内切时,d=R_-r(R>r);

  (4)当两圆内含时,d其中,d为圆心距,R、r分别是两圆的半径。

  如何判定四点共圆,我们主要有以下几种方法:

  (1)到一定点的距离相等的n个点在同一个圆上;

  (2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆;

  (3)同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆;

  (4)如果一个四边形的一组对角互补,那么它的四个顶点共圆;

  (5)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么它的四个顶点共圆;

  (6)四边形ABCD的对角线相交于点P,若PA_PC=PB_PD,则它的四个顶点共圆;

  (7)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P,若PA_PB=PC_PD,则它的四个顶点共圆。

  1、作直径上的圆周角

  当告诉了一条直径,一般通过作直径上的圆周角,利用直径所对的圆周角是直角这一条件来证明问题.

  2、作弦心距

  当告诉圆心和弦,一般通过过圆心作弦的垂线,利用弦心距平分弦这一条件证明问题.

  3、过切点作半径

  当含有切线这一条件时,一般通过把圆心和切点连起来,利用切线与半径垂直这一性质来证明问题.

  4、作直径

  当已知条件含有直角,往往通过过圆上一点作直径,利用直径所对的圆周角为直角这一性质来证明问题.

  5、作公切线

  当已知条件中含两圆相切这一条件,往往通过过这个切点作两圆的公切线,通过公切线找到两圆之间的关系.

  6、作公共弦

  当含有两圆相交这一条件时,一般通过作两圆的公共弦,由两圆的弦之间的关系,找出两圆的角之间的关系.

  7、作两圆的连心线

  若已知中告诉两圆相交或相切,一般通过作两圆的'连心线,利用两相交圆的连心线垂直平分公共弦或;两相切圆的连心线必过切点来证明问题.

  8、作圆的切线

  若题中告诉了我们半径,往往通过过半径的外端作圆的切线,利用半径与切线垂直或利

  用弦切角定理来证明问题.

  9、一圆过另一圆的圆心时则作半径

  题中告诉两个圆相交,其中一个圆过另一个圆的圆心,往往除了通过作两圆的公共弦外,还可以通过作圆的半径,利用同圆的半径相等来证明问题.

  10、作辅助圆

  当题中涉及到圆的切线问题(无论是计算还是证明)时,通常需要作辅助线。一般地,有以下几种添加辅助线的作法:

  (1)已知一直线是圆的切线时,通常连结圆心和切点,使这条半径垂直于切线.

  (2)若已知直线经过圆上的某一点,需要证明某条直线是圆的切线时,往往需要作出经过这一点的半径,证明直线垂直于这条半径,简记为“连半径,证垂直”;若直线与圆的公共点没有确定,则需要过圆心作直线的垂线,得到垂线段,再通过证明这条垂线段的长等于半径,来证明某条直线是圆的切线.简记为“作垂直,证半径”.